Mesures de transcendance et aspects quantitatifs de la méthode de Thue–Siegel–Roth–Schmidt
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چکیده
A proof of the transcendence of a real number ξ based on the Thue–Siegel–Roth–Schmidt method involves generally a sequence (αn)n≥1 of algebraic numbers of bounded degree or a sequence (xn)n≥1 of integer r-tuples. In the present paper, we show how such a proof can produce a transcendence measure for ξ, if one is able to quantify the growth of the heights of the algebraic numbers αn or of the points xn. Our method rests on the Quantitative Schmidt Subspace Theorem. We further give several applications, including to certain normal numbers and to the extremal numbers introduced by Roy. Résumé. Une démonstration de la transcendance d’un nombre réel ξ fondée sur la méthode de Thue–Siegel–Roth–Schmidt fait généralement intervenir une suite (αn)n≥1 de nombres algébriques de degrés bornés ou bien une suite (xn)n≥1 de r-uplets d’entiers. Dans cet article, nous montrons comment une telle démonstration peut produire une mesure de transcendance de ξ, pour peu que l’on sache quantifier la croissance des hauteurs des nombres algébriques αn ou des points xn. La méthode développée repose sur l’utilisation d’énoncés quantitatifs du théorème du sous-espace de Schmidt. Nous appliquons ensuite cette nouvelle approche à certains nombres normaux, ainsi qu’aux nombres extrémaux de Roy. 2000 Mathematics Subject Classification : 11J82 1
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